Векторный анализ

Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.

Сфера применения

Объектами приложения векторного анализа являются:

• Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
• Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

• Ротор и дивергенция — для векторных полей.
• Градиент — для скалярных полей.
• Лапласиан — для скалярных и векторных полей.

Оператор	Обозначение	Описание	Тип
Градиент	[math]\displaystyle{ \operatorname{grad}(f) = \nabla f }[/math]	Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля.	Скаляр [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] вектор
Дивергенция	[math]\displaystyle{ \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} }[/math]	Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля.	Вектор [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] скаляр
Ротор	[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} }[/math]	Характеризует вихревую составляющую векторного поля.	Вектор [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] вектор
Лапласиан	[math]\displaystyle{ \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f }[/math]	Сочетание дивергенции с градиентом.	Скаляр [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] скаляр
Лапласиан векторный	[math]\displaystyle{ {\displaystyle \Delta \mathbf {A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} + {\Delta }A_{z}\mathbf {k} } }[/math]		Вектор [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] вектор

[math]\displaystyle{ \operatorname{grad}(f)= \nabla f = \frac{\partial f }{\partial x}\mathbf i+ \frac{\partial f }{\partial y}\mathbf j+ \frac{\partial f }{\partial z}\mathbf k }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}= \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} + {\Delta }A_{z}\mathbf {k} = \biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+ \biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+ \biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k }[/math]

Дифференциальные операции второго порядка

	Скалярное поле [math]\displaystyle{ f=f(x,y,z) }[/math]	Векторное поле [math]\displaystyle{ \mathbf{A} = A_{x}\mathbf {i} + A_{y}\mathbf {j} + A_{z}\mathbf {k} }[/math]
	[math]\displaystyle{ \operatorname{grad} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{div} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{rot} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{grad} }[/math]		[math]\displaystyle{ \operatorname{grad} \operatorname{div} (\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{div} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\operatorname{grad}(f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla^2 f=\Delta f }[/math]		[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{rot} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\operatorname{grad}(f)=\nabla \times (\nabla f)=0 }[/math]		[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})= \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) - (\nabla \cdot \nabla) \cdot \mathbf{A}= \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{A} - \Delta \mathbf{A} }[/math]

Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] встречается два раза).

Основные соотношения

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема	Запись	Пояснения
Теорема о градиенте	[math]\displaystyle{ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. }[/math]	Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина	[math]\displaystyle{ \oint\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA }[/math]	Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса	[math]\displaystyle{ \int\limits_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, }[/math]	Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса	[math]\displaystyle{ \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, }[/math]	Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также

• Вектор-функция
• Векторное исчисление
• Градиент
• Дивергенция
• Дифференциальная геометрия
• Оператор набла
• Поверхность
• Ротор
• Формулы векторного анализа
• Гельмгольциан
• Оператор Даламбера

Литература

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205—234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.

Ссылки

• Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf) Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine
• Статья по векторному анализу на Astronet Архивная копия от 16 мая 2005 на Wayback Machine